Logica · Biennio liceo scientifico
Operazioni logiche elementari, tavole di verità e il cuore del ragionamento matematico: la condizione necessaria e sufficiente.
In logica una proposizione (o enunciato) è una frase dichiarativa di cui si può dire, senza ambiguità, se è vera (V) oppure falsa (F) — e una sola delle due.
Sono proposizioni: «7 è un numero primo» (V), «\(3>5\)» (F), «Roma è in Francia» (F).
Non sono proposizioni: «Che ore sono?» (domanda), «Chiudi la porta» (comando), «\(x+1=4\)» (dipende da \(x\): è un predicato, non una proposizione finché \(x\) non è fissato), «Questa frase è bella» (giudizio soggettivo).
Indichiamo le proposizioni con lettere minuscole \(p,\;q,\;r,\dots\) Una proposizione che non si può scomporre si dice atomica; combinando più proposizioni con i connettivi si ottengono proposizioni composte.
Il valore di verità di una proposizione composta dipende solo dai valori di verità delle proposizioni componenti. Lo descriviamo con una tavola di verità.
Inverte il valore di verità.
| \(p\) | \(\lnot p\) |
|---|---|
| V | F |
| F | V |
Vera solo quando sono vere entrambe.
Vera quando è vera almeno una delle due (anche tutte e due). È il «vel» latino.
Vera quando è vera esattamente una delle due. È l'«aut… aut».
| \(p\) | \(q\) | \(p\land q\) | \(p\lor q\) | \(p\veebar q\) |
|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | F |
| V | F | F | V | V |
| F | V | F | V | V |
| F | F | F | F | F |
Si legge «se p, allora q» (oppure «p implica q»). Qui \(p\) è l'ipotesi (o antecedente) e \(q\) è la tesi (o conseguente).
| \(p\) | \(q\) | \(p\rightarrow q\) | \(p\leftrightarrow q\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | F | F |
| F | V | V | F |
| F | F | V | V |
Quando l'ipotesi è falsa, l'implicazione è sempre vera («vero a vuoto»): la promessa «se piove ti presto l'ombrello» non viene tradita nei giorni in cui non piove. L'unico modo di smentirla è un giorno di pioggia in cui l'ombrello non arriva.
Si legge «p se e solo se q». È vera quando \(p\) e \(q\) hanno lo stesso valore di verità. Equivale a \((p\rightarrow q)\land(q\rightarrow p)\).
È l'uso dell'implicazione nel linguaggio della matematica. Partiamo da \(p\rightarrow q\) vera:
Sia \(p\): «\(n\) è divisibile per 4» e \(q\): «\(n\) è divisibile per 2». È vera \(p\rightarrow q\).
Quando valgono entrambe \(p\rightarrow q\) e \(q\rightarrow p\), cioè \(p\leftrightarrow q\), si dice che \(p\) è condizione necessaria e sufficiente per \(q\) (e viceversa). In matematica è ciò che esprime un «se e solo se»: una definizione, una caratterizzazione.
Esempio: «un triangolo è equilatero \(\leftrightarrow\) ha i tre angoli uguali». Ciascuna condizione è necessaria e sufficiente per l'altra.
| nome | forma | relazione con \(p\rightarrow q\) |
|---|---|---|
| diretta | \(p\rightarrow q\) | — |
| inversa | \(q\rightarrow p\) | non equivalente |
| contraria | \(\lnot p\rightarrow \lnot q\) | non equivalente |
| contronominale | \(\lnot q\rightarrow \lnot p\) | equivalente |
La contronominale ha sempre lo stesso valore di verità della diretta: dimostrare «se non \(q\) allora non \(p\)» equivale a dimostrare «se \(p\) allora \(q\)». È la base della dimostrazione per contrapposizione.
Vai alla Simulazione per vedere tutte queste operazioni reagire dal vivo ai valori di \(p\) e \(q\).
Imposta il valore di verità di \(p\) e \(q\): tutte le operazioni si aggiornano dal vivo, e la riga corrispondente della tavola di verità si illumina.
| \(p\) | \(q\) | \(\lnot p\) | \(p\land q\) | \(p\lor q\) | \(p\veebar q\) | \(p\!\rightarrow\! q\) | \(p\!\leftrightarrow\! q\) |
|---|
Un'implicazione vera \(p\rightarrow q\) si legge «l'insieme dei casi in cui vale \(p\) è contenuto in quello in cui vale \(q\)». Scegli un esempio:
Rispondi, poi controlla. Se sei bloccato chiedi un aiuto: i suggerimenti diventano via via più espliciti. Per i valori di verità scrivi V o F (vanno bene anche «vero/falso», «1/0»).
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